从数学上讲，此问题意味着我们正在寻找以下方程的整数解（对于x和y）：

x * R-y * L = G-S

我们可以从创建一个函数来快速检查是否有解决方案开始：

def path(S, G, F, L, R):
    x=0
    while True:
        y = (x * R - G + S) / L
        if y>=0 and int(y)==y:
            return(x,y)
        else:
            x+=1

如果有解决方案，它将起作用，但如果没有解决方案，则不会起作用。从数学上可以证明，当L代表R而不是GS时，没有解。这是证明：

如果R mod L = 0（L代表R）（G-S）/ L！= 0（L不代表GS）

然后通过将整个方程式（x * R-y * L = G-S）乘以L，我们得出：

x * R / L-y =（G-S）/ L <=>

y =（x * R / L）-（G-S）/ L

现在，对于x mod 1 = 0（x整数），我们希望y mod 1 = 0（意味着y是整数）。使用常见的模运算，我们得到：

y mod 1 = [（x * R / L）-（G-S）/ L] mod 1 =

[（x * R / L）mod 1-（（G-S）/ L）mod 1] mod 1 =

[[x mod 1 *（R / L）mod 1）mod 1-（（G-S）/ L）mod 1] mod 1 =

[[x mod 1 * 0）mod 1-（（G-S）/ L）mod 1] mod 1 =

[（（（G-S）/ L）mod 1] mod 1

如果L不代表GS，则该值不能为0，这最终意味着不存在可以满足原始条件的整数对x，y。

以编程方式，这对于我们的代码来说意味着以下补充：

def path(S, G, F, L, R):
        if R%L==0 and (G-S)%L != 0 :
            return 'No solutions'
        x=0
        while True:
            y = (x * R - G + S) / L
            if y>=0 and int(y)==y:
                return(x,y)
            else:
                x+=1

我不知道在数学上是否可以证明上述if是唯一的例外，很可能可以通过更多的模运算来证明。以编程方式，我们可以在代码中添加一些时钟，以便在没有解决方案的情况下（这将导致循环），可以在一段时间后返回False。这是我们可以做到的：

在n个时间后如何停止while循环？